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Mención - Ciencias Exactas, Físicas y Naturales 2014
Group Actions on DG-Manifolds and Exact Courant Algebroids, (Acciones de Grupos en Variedades Diferenciales Graduadas y Algebroides de Courant Exactos)

Bernardo Uribe Jongbloed, Profesor del Departamento de Matemáticas y Estadística, Universidad del Norte, Barranquilla, Atlántico.
“Las variedades generalizadas complejas aparecen a principios de la década del 2000 como una generalización del concepto de variedad compleja y de variedad simpléctica.

Son estructuras geométricas asociadas a la suma directa del espacio tangente y del espacio cotangente de la variedad en cuestión. Las propiedades geométricas de las variedades generalizadas complejas han sido estudiadas teniendo en cuenta las propiedades conocidas de las variedades simplécticas [una variedad simpléctica es un par (M, ω) donde M es una variedad diferenciable y ω es una 2- forma cerrada, no degenerada en M llamada la forma simpléctica, "no degenerada" significa que para cada vector distinto de cero u en el espacio tangente en un punto, hay un vector v tal que ω(u, v) =/ 0] y de las variedades complejas, y en su gran mayoría se han hecho utilizando herramientas clásicas de la geometría diferencial.

Sin embargo, el estudio de las variedades generalizadas complejas por medio de herramientas clásicas ha dejado de lado el estudio de las propiedades que tienen ellas por el hecho de haber sido construidas a partir de variedades diferenciales graduadas. Tal es el caso de las simetrías de las variedades generalizadas complejas y de las acciones hamiltonianas de grupos de Lie sobre ellas. [En matemáticas, un grupo de Lie, nombrado así por Sophus Lie, es una variedad diferenciable real o compleja que es también un grupo tal que las operaciones como multiplicación e inversión son funciones diferenciables o analíticas, según el caso]

El proyecto inicial era estudiar las simetrías de las variedades generalizadas complejas desde el punto de vista de las variedades diferenciales graduadas, y por medio de este estudio, explicar la relación entre la cohomología equivariante y las acciones hamiltonianas en variedades generalizadas complejas.

Consideramos entonces una variedad generalizada compleja M y su algebroide de Courant exacto que la soporta. Consideramos un grupo de Lie G (no necesariamente compacto) que actúa diferencialmente en M. Calculamos las simetrías infinitesimales del algebroide de Courant Exacto y obtuvimos un álgebra de Lie diferencial graduada. Como cualquier simetría de la estructura geométrica debe verse como un morfismo de la versión infinitesimal del grupo de Lie en esta álgebra de Lie diferencial graduada, calculamos explícitamente el espacio graduado de dichos morfismos, y además clasificamos los tipos de isomorfía de los morfismos por medio de la cohomología del cociente homotópico de M partido por G.

Dimos también una explicación conceptual de las ecuaciones que se tienen que satisfacer para que un grupo de Lie no compacto actúe de manera hamiltoniana en una variedad generalizada compleja, y consolidamos las bases para compaginar las acciones globales de grupos de Lie en variedades diferenciales y las ecuaciones locales que satisfacen las simetrías de las variedades diferenciales graduadas.

El trabajo en cuestión incorpora en una misma construcción conceptos clásicos de cohomología de grupos y de geometría diferencial, con conceptos relativamente recientes como lo son las variedades generalizadas complejas. En particular logra compaginar en una misma estructura información global de acciones de grupos de Lie con información infinitesimal de la acción de su álgebra de Lie.

La importancia del trabajo radica esencialmente en la incorporación de herramientas y construcciones de la topología algebráica en la geometría diferencial para poder determinar de manera consolidada las ecuaciones que se deben satisfacer para que un grupo de Lie actúe de manera hamiltoniana en una variedad generalizada compleja.”

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