La investigación matemática busca abstraer, generalizar, y unificar ideas. Los matemáticos buscamos desarrollar perspectivas novedosas y elegantes sobre conceptos importantes, y crear conexiones que nos permitan resolver preguntas que han permanecido sin respuesta por mucho tiempo.

Nuestros resultados principales son:

Demostramos una conjetura sobre matroides positivas formulada por da Silva hace más de 25 años.
Demostramos que las "matroides positivas" de la escuela de París y las "positroides" de la escuela de MIT y Princeton son exactamente los mismos objetos.
Así como los números se descomponen en primos (2,3,5,7,11,13,...), las matroides positivas se descomponen en "matroides primas". Demostramos que la fracción de matroides positivas que son primas es 1/e^2 ≈ 13,5%, donde e = 2,7182... es la famosa "constante de Euler".

ANTECEDENTES: TEORIA DE MATROIDES

La teoría de matroides es una teoría abstracta que tiene muchas aplicaciones concretas. Las matroides fueron descubiertas independientemente en Harvard, Groningen, y Tokyo en los años 30. Esta teoría buscaba responder preguntas como las siguientes:

Álgebra: ¿Cuáles sistemas de ecuaciones polinomiales tienen solución?
Geometría: ¿Cómo se puede describir la posición relativa de una colección de puntos en el espacio de n dimensiones?

Sorprendentemente, durante los inicios de la computación moderna en 1970, se descubrió que las matroides juegan un papel fundamental en problemas de optimización como los siguientes:

(Optimización 1) ¿Cuál es el costo mínimo de un sistema de carreteras o una red de internet que conecte a todas las ciudades de un país?
(Optimización 2) Si una organización busca contratar empleados para hacer varios trabajos, ¿cuál es la manera óptima de escoger a los candidatos y asignarles sus trabajos respectivos?

Afortunadamente, gracias a 40 años de desarrollo matemático, en 1970 la teoría de matroides estaba lista para resolver este tipo de problemas. Hoy en día, las matroides son un tema indispensable en un curso de optimización. Este es un tema recurrente de la investigación matemática. Esta siempre se desarrolla guiada por la curiosidad intelectual y la búsqueda de la belleza, y con frecuencia lleva a aplicaciones espectaculares e inesperadas.

NUESTRO TRABAJO: TEORIA DE MATROIDES POSITIVAS

Las matroides positivas también fueron descubiertas por lo menos tres veces:

Londres, 1967. Penrose inició la teoría de diagramas de twistores, buscando entender cómo interactúan las partículas fundamentales en la naturaleza.
París, 1987. Da Silva definió las matroides orientadas positivamente, buscando generalizar los politopos cíclicos, que son los objetos geométricos más complejos que se pueden construir con n puntos en d dimensiones.
Boston, 2006. Postnikov definió las positroides en su estudio de las matrices totalmente positivas.

Sorprendentemente, estas tres teorías resultaron ser completamente equivalentes:

1 <--> 3: (Princeton/MIT, 2012)
Un equipo de físicos y matemáticos demostraron que los "diagramas de twistores" y las "positroides" son el mismo objeto. Así, la teoría matemática de Postnikov se volvió de gran beneficio para la física. Este descubrimiento parece ser bastante revolucionario. El cálculo algebraico de la interacción entre ciertas partículas, que antes podía requerir de 500 páginas de diagramas de Feynman (por los cuales Feynman recibió el premio Nóbel de Física en 1965) hoy se puede hacer dibujando un solo diagrama de twistores. Esta área se está desarrollando tan rápidamente que es difícil saber cuál será su alcance final.

2 <--> 3: (Los Andes/SFSU/Berkeley, 2015)
En nuestro trabajo, demostramos que las "matroides positivas" de Da Silva también son los mismos objetos que los "diagramas de twistores" y las "positroides". Así, descubrimos que la teoría de Da Silva provee una nueva herramienta para estudiar estos objetos de gran importancia. Los resultados que obtenemos abren la puerta para novedosas técnicas de investigación, y nos permiten resolver problemas que habían permanecido abiertos por varias décadas. Para obtenerlos, fue necesario usar la maquinaria desarrollada por Postnikov, y profundizarla aún más. Durante mucho tiempo estudiamos con cuidado la estructura de las positroides, con el único objetivo de entenderlas mejor, guiados por nuestra curiosidad y por la belleza de estos objetos. Afortunadamente, después de varios años de desarrollo, nuestra teoría matemática estaba lista para contestar una pregunta que Da Silva hizo en 1987.

Como sucede con frecuencia en la matemática, las aplicaciones prácticas de esta teoría probablemente se demorarán años en llegar. Sin embargo, la convergencia de estas tres teorías muy distintas parece indicar que estos resultados van a tener un impacto muy interesante, tanto en la matemática como en la física.